MySQLとは
無償で利用することのできる、オープンソースのデータベースです。
MovableTypeといったブログをサーバで構築するのに必須となっています。

設定
まずAPTより必要なものをインストールします。
# aptitude update
# aptitude install mysql-server

■ 現状の確認
まずrootユーザでMySQLにログインしてみます。
なにも設定していないので、問題なくログインできるはずです。
# mysql -u root
現在あるデータベースを確認してみます。
mysql> show databases;
+--------------------+
| Database           |
+--------------------+
| information_schema |
| mysql              |
+--------------------+
2 rows in set (0.00 sec)
次に現状のユーザとパスワードの一覧を確認します。
mysql> select user,host,password from mysql.user;
+------------------+-------------+-------------------------------------------+
| user             | host        | password                                  |
+------------------+-------------+-------------------------------------------+
| root             | localhost   |                                           |
| root             | rainlib.com |                                           |
| debian-sys-maint | localhost   | *AAAAAAAAAAA(一応ぼかし)AAAAAAAAAAAAAAA |
+------------------+-------------+-------------------------------------------+
2 rows in set (0.00 sec)
現状だと「root」のパスワードが設定されていないのが分かります。

■ rootのパスワード設定
rootに無条件でログインできるのは危険なので、まずパスワードを設定します。
mysql> set password for root@localhost=password('rootパスワード');
mysql> set password for root@rainlib.com=password('rootパスワード');
試しにログアウトして再度ログインしてみます。
mysql> exit
パスワード付きでログイン
# mysql -u root -p
そうするとパスワードを求められるので、先ほど設定したパスワードを入力しないとログインできないようになります。

■ ユーザとDBの作成
自分で使用するDBとユーザを作成します。まずは「root」でログイン
# mysql -u root -p
最初にDBを作ります。
mysql> create database DB名;
そして、↑のDBを扱うことのできるユーザを作成
mysql> grant all privileges on DB名.* to ユーザ名@localhost identified by 'パスワード' with grant option;
そして「root」からログアウトして、作ったユーザでログインします。
mysql> exit
# mysql -u ユーザ名 -p
後は自由にDBを構築することができます。

参考
VineLinuxで自宅サーバー